Данное пособие предназначено для учащихся средней и старшей школы, а также для всех, кто хочет освежить или углубить свои знания о тригонометрических функциях. В нём рассматриваются основные определения, свойства, таблицы значений, ключевые тождества и типовые задачи с решениями.

Содержание

1. Основные определения
2. Синус и косинус
3. Тангенс и котангенс
4. Секанс и косеканс
5. Таблица значений дляพิเศшных углов
6. Основные тождества
7. Формулы сложения, вычитания и двойного угла
8. Примеры задач с решениями

Основные определения

Тригонометрические функции связывают стороны прямоугольного треугольника с его острыми углами. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в вершине C. Обозначим:

• a – длина стороны, противоположной углу α (угол в вершине A);
• b – длина стороны, противоположной углу β (угол в вершине B);
• c – длина гипотенузы (сторона, противоположная прямому углу).

Тогда для острого угла α определим:

• sin α = a/c (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
• cos α = b/c (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
• tan α = a/b = sin α / cos α;
• cot α = b/a = cos α / sin α;
• sec α = c/b = 1 / cos α;
• csc α = c/a = 1 / sin α.

Эти определения справедливы для любого угла, если рассматривать его на единичной окружности (радиус = 1).

Синус и косинус

На единичной окружности точка с координатами (x,y) соответствует углу θ, измеренному от положительной оси OX против часовой стрелки. Тогда:

• cos θ = x;
• sin θ = y.

Следовательно, значения синуса и косинуса лежат в интервале [−1, 1]. Их графики – синусоиды, сдвинутые относительно друг друга на π/2.

Свойства sin и cos

• Период: 2π.
• sin(−θ) = −sin θ (нечётная функция).
• cos(−θ) = cos θ (чётная функция).
• sin²θ + cos²θ = 1 (основное тригонометрическое тождество).

Тангенс и котангенс

Определяются как отношения синуса и косинуса:

• tan θ = sin θ / cos θ, определен при cos θ ≠ 0.
• cot θ = cos θ / sin θ, определен при sin θ ≠ 0.

Графики тангенса и котангенса имеют вертикальные асимптоты там, где знаменатель равен нулю.

Свойства tan и cot

• Период: π.
• tan(−θ) = −tan θ (нечётная).
• cot(−θ) = −cot θ (нечётная).
• 1 + tan²θ = sec²θ;
• 1 + cot²θ = csc²θ.

Секанс и косеканс

Это обратные функции к косинусу и синусу соответственно:

• sec θ = 1 / cos θ, определен при cos θ ≠ 0.
• csc θ = 1 / sin θ, определен при sin θ ≠ 0.

Их графики также имеют вертикальные асимптоты в нулях знаменателя.

Таблица значений дляพิเศшных углов

Ниже приведены значения тригонометрических функций для углов, кратных 30° (π/6) и 45° (π/4); Эти значения удобно запоминать и использовать при решении задач.

Знак «—» обозначает, что функция не определена (деление на ноль).

Основные тождества

1. Пифагорово тождество: sin²θ + cos²θ = 1.
2. Тождества для тангенса и котангенса:
   • 1 + tan²θ = sec²θ;
   • 1 + cot²θ = csc²θ.
3. Формулы снижения углов:
   • sin(−θ) = −sin θ;
   • cos(−θ) = cos θ;
   • tan(−θ) = −tan θ;
   • cot(−θ) = −cot θ.
4. Формулы коформул (угол ± π/2):
   • sin(θ + π/2) = cos θ;
   • cos(θ + π/2) = −sin θ;
   • tan(θ + π/2) = −cot θ;
   • cot(θ + π/2) = −tan θ.

Формулы сложения, вычитания и двойного угла

Сложение и вычитание

• sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β;
• cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β;
• tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α tan β).

Двойной угол

• sin 2α = 2 sin α cos α;
• cos 2α = cos²α − sin²α = 2 cos²α − 1 = 1 − 2 sin²α;
• tan 2α = 2 tan α / (1 − tan²α).

Половина угла

• sin (α/2) = ±√[(1 − cos α)/2];
• cos (α/2) = ±√[(1 + cos α)/2];
• tan (α/2) = sin α / (1 + cos α) = (1 − cos α) / sin α.

Знак выбирается в зависимости от квадранта, в котором находится угол α/2.

Примеры задач с решениями

Пример 1. Вычисление sin 75°

Решим через формулу сложения: 75° = 45° + 30°.

sin 75° = sin(45°+30°)

 = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°

 = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2)

 = √6/4 + √2/4

 = (√6 + √2)/4.

Ответ: sin 75° = (√6 + √2)/4.
Пример 2. Решение уравнения 2 cos²x − 1 = 0 на интервале [0, 2π)
Заметим, что 2 cos²x − 1 = cos 2x (по формуле cos 2α = 2 cos²α − 1).

cos 2x = 0 → 2x = π/2 + πk, k∈ℤ.
x = π/4 + πk/2.

Подставляем k = 0,1,2,3 и получаем решения в нужном интервале:

x₁ = π/4;
x₂ = 3π/4;
x₃ = 5π/4;
x₄ = 7π/4.

Ответ: x ∈ {π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4}.
Пример 3. Нахождение высоты здания по углу возвышения
С точки наблюдения, расположенной на расстоянии 30 м от основания здания, угол возвышения до вершины составляет 40°. Найдите высоту h здания.
Используем определение тангенса: tan θ = противолежащий катет / прилежащий катет = h / 30.

h = 30 · tan 40°.
С помощью калькулятора tan 40° ≈ 0.8391.
h ≈ 30 · 0.8391 ≈ 25.17 м.

Ответ: высота здания ≈ 25,2 м.

Тригонометрические функции являются фундаментальным инструментом в математике, физике, инженерии и многих других науках. Знание их определений, свойств, таблиц значений и умение применять формулы сложения и двойного угла позволяют решать широкий спектр задач, от простых геометрических вычислений до анализа колебаний и волновых процессов.
Рекомендуем регулярно выполнять упражнения, использовать таблицу значений для проверки результатов и не забывать о периодичности и чётности/нечётности функций — это существенно упрощает работу с тригонометрическими выражениями.